Exercices exponentielle

Exercice 1 : $\bigstar$ $\bigstar$

Existe-t-il une/des tangente(s) communes (s) aux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ d'équations respectives : $y=e^x$ et $y'=-e^{-x-1}$ .

Si oui, déterminer cette/ces équation(s).

Exercice 2 : $\bigstar$ $\bigstar$

Une fonction $f$ est définie sur $[-2;3]$ par :

$f(x)=(ax+b)e^{kx}$

avec $a, b$ et $k$ réels, $k$ étant strictement positif.

La courbe représentative de la fonction admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $-1$ et une tangente parallèle à la droite $d : y=-5x$ au point $A(0;10)$ .

Déterminer $f$ .

Exercice 3 : $\bigstar$ $\bigstar$ $\bigstar$

Soit $\mathcal{C}$ la courbe d'équation $y=e^x-1$ , $x$ réel dans le plan muni d'un repère orthonormé.

Soient $A$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $1$ , $M$ un point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ , où $x\in [0;1]$ . Où placer $M$ pour que l'aire du triangle $OAM$ soit maximale ?

Exercice 4 : $\bigstar$ $\bigstar$

La courbe $\mathcal{C}$ a pour équation $y=a(1-e^{bx})$ avec $a$ et $b$ des réels. Le point $A$ a pour coordonnées $(4;4)$ et la droite $(OA)$ est tangente à $\mathcal{C}$ en $O$ .

Trouvez $a$ et $b$ .

Le corrigé est disponible ici.