Notions de limites

Une suite est convergente lorsqu'elle admet une limite finie.

Une suite est divergente lorsqu'elle admet une limite infinie ou lorsqu'elle n'a pas de limite.

Exemple : la suite $(u_n)$ : $u_n=(-1)^n$ n'admet pas de limite finie, elle diverge.

La suite $(u_n)$ converge vers un réel $l$ , si tout intervalle ouvert comportant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. En d'autres termes : $\forall \epsilon >0, \exists N\in \mathbb{N}; n\geq N \Rightarrow |u_n-l|< \epsilon$ .

En somme, on trouvera tous les termes de la suite, à partir d'un certain rang, dans un intervalle $I=]l-\epsilon;l+\epsilon[$ , $\epsilon$ étant un réel. Voir image ci-dessous :

La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ , si tout intervalle de la forme $]A;+\infty[$ , $A$ étant un réel, contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. Entre d'autres termes : $\forall A \in \mathbb{R}, \exists N\in \mathbb{N}; n\geq N \Rightarrow u_n>A$ .

Exemple : la suite $(u_n)$ : $u_n = n$ .

La suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$ , si tout intervalle de la forme $]-\infty;A[$ , $A$ étant un réel, contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. Entre d'autres termes : $\forall A \in \mathbb{R}, \exists N\in \mathbb{N}; n\geq N \Rightarrow u_n<A$ .

Exemple : la suite $(u_n) : u_n=-n$ .

À partir d'un certain rang, si une suite converge vers un réel $l$ non nul, alors elle est du signe de $l$ . La démonstration réside sur la définition en elle-même. On sait que, d'après la définition : $l-\epsilon<u_n<l+\epsilon$ .

Si on pose :

$\epsilon = \frac{|l|}{2}$

Si $l$ est négatif, alors :

$l+\epsilon=l-\frac{l}{2}=\frac{l}{2}<0$

Donc : $u_n<0$ .

Si $l$ est positif, alors :

$l-\epsilon=l-\frac{l}{2}=\frac{l}{2}>0$

Donc : $u_n>0$ .

(Admis) Si la limite existe, alors elle est unique. La démonstration se fait également avec la définition de la limite.