Limites d'une suite géométrique

Les maths en Terminale S

Limites d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ .

Si $-1<q<1$ , alors : $\lim_{n\to +\infty}u_n=0$

Si $q>1$ et si $u_n>0$ , alors : $\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$

Si $q>1$ et si $u_n<0$ , alors : $\lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty$

Si $q<-1$ , la suite est divergente.

ROC : si $q>1$ , alors :

$\lim_{n\to +\infty}q^n=+\infty$

Démonstration. Puisque $q$ est un réel, on peut écrire : $http://latex.codecogs.com/gif.latex?q%3D%281+a%29$ . Ainsi, montrons par récurrence que : $(1+a)^n \geq 1+na$ (inégalité de Bernoulli).

Notons la propriété : $P_n: ``(1+a)^n \geq 1+na"$ .

Initialisation : montrons que la proposition est vérifiée au rang 0.

$\\ (1+a)^0=1\\ 1+0\times a=1$

On a bien : $1\geq 1$ . La proposition est vraie au rang 0.

Hérédité : supposons qu'il existe un entier $n\geq 0$ tel que $P_n$ soit vraie. Démontrons que $P_{n+1}$ est vraie, c'est-à-dire : $P_{n+1}: ``(1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1)a"$ . On a, par hypothèse de récurrence : $(1+a)^n \geq 1+na$ .

$(1+a)^n\geq 1+na \Leftrightarrow (1+a)^{n+1}\geq (1+na)(1+a)\ (car\ 1+a>0)$

Ainsi : $(1+a)^{n+1}\geq (1+na)(1+a)\Leftrightarrow (1+a)^{n+1}\geq 1+a^2n+na+a$

Donc : $(1+a)^{n+1}\geq (1+na)(1+a)\Leftrightarrow (1+a)^{n+1}\geq 1+a^2n+(n+1)a$ .
Il est évident que $a^2 \geq 0\ et\ n\geq 0$ , ainsi : $a^2n\geq 0$ .

Donc : $(1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1)a$ .

La proposition est vérifiée au rang $n+1$ .

Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire à partir de 0, donc la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$ .

On rappelle que : $q^n=(1+a)^n$ .

Ainsi : $(1+a)^n\geq 1+na$ . Or $\lim_{n\to +\infty}(1+na)=+\infty$ . Donc d'après le théorème de minoration :

$\lim_{n\to +\infty}q^n=+\infty$