Lois normales (avec échantillonnage)

Connaitre la fonction de densité de la loi normale $X\sim \mathcal{N}(0,1)$ et se représentation graphique.
ROC : démontrer que pour $\alpha \in ]0;1[$ , il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$ tel que $P(-u_{\alpha}\leq X\leq u_{\alpha})=1-\alpha$ lorsque $X\sim \mathcal{N}(0,1)$ .
Connaître les valeurs approchées $u_{0.05}\approx 1,\! 96$ et $u_{0.01}\approx 2,\! 58$ .
Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale $(\mu;\sigma^2)$ .
Connaître une valeur approchée de la probabilité des événements suivants : $P(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma)$ , $P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma)$ et également la valeur suivante $P(\mu-3\sigma\leq X\leq \mu+3\sigma)$ avec $X\sim \mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$ .
ROC : démontrer que si la variable aléatoire $X_n$ suit la loi $\mathcal{B}(n;p)$ , alors pour tout $\alpha$ dans $]0;1[$ , on a :

$\lim_{n\to +\infty}P\left(\frac{X_n}{n}\in I\right)=1-\alpha$ où $I_n$ désigne : $\left[p-u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+u_{\alpha}\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$

Connaître l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ ( $p$ désigne la proportion dans la population) :

$\left[ p-1,\! 96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+1,\! 96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$

Estimer par intervalle une proportion inconnue à partir d'un échantillon.
Déterminer une taille d'échantillon suffisante pour obtenir, avec une précision donnée, une estimation d'une proportion au niveau de confiance 0.95.