Page sur le produit scalaire - Les Maths en Terminale S !

Les maths en Terminale S

Page sur le produit scalaire

Produit scalaire dans le plan :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé :

Soient deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que :

$\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y ' \end{pmatrix}$

Alors : $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bu%7D.%5Cvec%7Bv%7D%3Dxx%27+yy%27$ .

Avec les normes :

$\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2)$

Avec le cosinus :

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times \cos (\vec{u},\vec{v})$

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à 0.

Soient $A$ et $http://latex.codecogs.com/gif.latex?B$ deux points du plan et $I$ le milieu de $[AB]$ . Pour tout point $M$ du plan, on a (théorème de la médiane) :

$MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}$

Pour tout triangle $ABC$ avec $http://latex.codecogs.com/gif.latex?a%3DBC$ , $b=CA$ , $c=AB$ , $\widehat{A}=\widehat{ABC}$ , $\widehat{B}=\widehat{CBA}$ et $\widehat{C}=\widehat{ACB}$ , on a (théorème d'Al-Kashi):

$\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\widehat B\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\widehat C$

Formule des sinus :

$\frac{sin \widehat A}{a}=\frac{sin \widehat B}{b}=\frac{sin \widehat C}{c}$