Soit une suite géométrique de raison .
ROC : si , alors :
Démonstration. Puisque est un réel, on peut écrire : . Ainsi, montrons par récurrence que : (inégalité de Bernoulli).
Notons la propriété : .
Initialisation : montrons que la proposition est vérifiée au rang 0.
On a bien : . La proposition est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons qu'il existe un entier tel que soit vraie. Démontrons que est vraie, c'est-à-dire : . On a, par hypothèse de récurrence : .
Ainsi :
Donc :
.
Il est évident que , ainsi : .
Donc : .
La proposition est vérifiée au rang .
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire à partir de 0, donc la propriété est vraie pour tout entier naturel .
On rappelle que : .
Ainsi : . Or . Donc d'après le théorème de minoration :