Correction

Exemple 1.

Il semblerait que $u_n=(n+1)^2$ . Notons la propriété $\mathcal{P}_n : ``u_n=(n+1)^2"$ .

Initialisation : montrons que $\mathcal{P}_0$ est vraie.

$u_0=1$ (par définition)

$(0+1)^2=1$

La proposition est vérifiée au rang 0.

Hérédité : supposons qu'il existe un entier $n\geq 0$ tel que $\mathcal{P}_{n}$ soit vraie. Démontrons que $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie, c'est-à-dire, $\mathcal{P}_{n+1}:``u_{n+1}=(n+2)^2"$ .

On a, par hypothèse de récurrence : $u_n=(n+1)^2$ .

On sait que : $u_{n+1}=u_n+2n+3$ . En remplaçant, grâce à l'hypothèse de récurrence : $\\ u_{n+1}=u_n+2n+3=(n+1)^2+2n+3=n^2+2n+1+2n+3\\ u_{n+1}=n^2+4n+4=(n+2)^2$

La proposition est vraie au rang $n+1$ .

Conclusion : la proposition est vraie au rang 0 et est héréditaire au rang 0, donc elle est vraie pour tout entier $n$ .

Exemple 2. On pourrait la démontrer (par récurrence !) mais on admet la formule suivante :

$\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

Notons la proposition:

$\mathcal{P}_n : ``\sum_{k=0}^n k^3= \left( \frac{n(n+1)}{2}\right )^2"$

Initialisation : montrons que la proposition est vraie au rang 0.

$0^3=0$

$\frac{0(0+1)}{2}=0$

La proposition est vérifiée au rang 0.

Hérédité: supposons qu'il existe un entier $n\geq 0$ tel que $\mathcal{P}_n$ soit vraie. Démontrons que $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie, c'est-à-dire :

$\mathcal{P}_{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}k^3=\left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right )^2$

On a, par hypothèse de récurrence :

$\sum _{k=0}^n k^3=\left( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$

On peut écrire :

$\\ \sum _{k=0}^n k^3+(n+1)^3=\left( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2+(n+1)^3\\\\ \sum_{k=0}^{n+1}k^3=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}\\\\ \sum_{k=0}^{n+1}k^3=\frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4}\\\\ \sum_{k=0}^{n+1}k^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

La proposition est vérifiée au rang $n+1$

Conclusion : la proposition est vraie au rang 0 et est héréditaire à partir de 0, donc elle est vraie pour tout entier naturel $n$ . Ainsi :

$\sum _{k=0}^nk^3=\left( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$

Exemple 3. (La rédaction est identique pour les deux propositions). Un multiple de 6 s'écrit sous la forme $6k, k\in \mathbb{Z}$ . Soient les propositions $\mathcal{P}_n$ : " $7^n+1$ est un multiple de 6" et $\mathcal{Q}_n$ : " $7^n-1$ est un multiple de 6", pour tout entier $n\geq 1$ .

Hérédité : supposons qu'il existe un entier $n\geq 1$ tel que $\mathcal{P}_n$ soit vraie. Démontrons que $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie, c'est-à-dire : $\mathcal{P}_{n+1} : ``7^{n+1}+1$ est un multiple de 6".

On peut écrire, par hypothèse de récurrence : $7^n+1=6k$ .

On peut écrire :

$\\ 7^n+1=6k \\ 7^{n+1}+7=42k\\ 7^{n+1}+1=42k-6\\ 7^{n+1}+1=6(7k-1)\\ 7^{n+1}+1=6k'$

La proposition est vraie au rang $n+1$ .

De même avec $\mathcal{Q}_n$ .

On peut écrire :

$\\ 7^n-1=6k\\ 7^{n+1}-7=42k\\ 7^{n+1}-1=42k+6\\ 7^{n+1}-1=6(6k+1)\\ 7 ^{n+1}-1=6k'$

La proposition est vraie au rang $n+1$ .

Initialisation : regardons si les propriétés sont vraies au rang 1.

$7^1-1=6$ . Donc, $\mathcal{Q}_n$ est vérifiée au rang 1. Ainsi, la proposition est vérifiée au rang 1 et est héréditaire à partir de 1. Donc $7^n-1$ est bien un multiple de 6.

$7^1+1=8$ . Or, $8$ n'est pas un multiple de 6, ainsi l'initialisation n'est pas bonne. Cependant, cela ne suffit pas pour conclure sur le fait que la proposition n'est pas vérifiée pour tout entier naturel $n$ . Il faut le démontrer.

On sait que : $7^n-1=6k$ . Ainsi : $7^n+1=6k+2$ . Or $6k+2$ n'est pas un multiple de 6. Par conséquent :

$7^n-1$ est un multiple de 6.
$7^n+1$ n'est pas un multiple de 6.

Cet exercice montre bien que l'hérédité peut être juste mais pas l'initialisation. Il faut toujours faire l'initialisation !

Exemple 4. La méthode de démonstration est identique à l'exemple 2. Pour l'hérédité, il fallait voir :

$\\ \sum _{k=0}^{n+1}k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2 }{6}\\\\ \sum _{k=0}^{n+1}k^2 =\frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1)) }{6}\\\\ \sum _{k=0}^{n+1}k^2 =\frac{(n+1)(2n^2+1+6n+6) }{6}\\\\ \sum _{k=0}^{n+1}k^2 =\frac{(n+1)(2n^2+7+6n) }{6}$

En posant $f(x)=2x^2+6x+7$ , on résout l'équation $f(x)=0$ . On obtient deux solutions :

$x_1=-\frac{3}{2}\ et\ x_2=-2$

Tout trinôme sa factorise sous la forme : $a(x-x_1)(x-x_2)$ . Ici :

$f(x)=2(x+\frac{3}{2})(x+2)=(2x+3)(x+2)$

Ainsi :

$\\ \sum _{k=0}^{n+1}k^2 =\frac{(n+1)(2n^2+7+6n) }{6}\\\\ \sum _{k=0}^{n+1}k^2 =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3) }{6}$

Ce qui correspond à ce que l'on cherchait. La proposition est vérifiée au rang $n+1$ .