Estimation et intervalle de confiance

L'estimation consiste à utiliser les informations d'un échantillon pour en déduire des informations sur la population.

ROC : lorsque $n$ est assez grand ( $n\geq 30$ , $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$ ), la proportion inconnue $p$ vérifie :

$P\left(F_n-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq p\leq F_n+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\geq 0,\! 95$

Démonstration. Si $n$ est assez grand, on a :

$P\left(p-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq F_n\leq p+\frac{1}{\sqrt{n}} \right )\geq 0,\! 95$

Or :

$p-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq F_n\leq p+\frac{1}{\sqrt{n}} \Leftrightarrow -F_n-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq -p\leq -F_n+\frac{1}{\sqrt{n}}$

Soit :

$F_n-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq p\leq F_n+\frac{1}{\sqrt{n}}$

D'où :

$P\left( F_n-\frac{1}{\sqrt{n}}\leq p\leq F_n+\frac{1}{\sqrt{n}}\right )\geq 0,\! 95$

Soit $f$ une réalisation de la variable aléatoire $F_n$ . L'intervalle suivant est appelé intervalle de confiance de $p$ au niveau asymptotique 95% :

$I=\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}} ; f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right ]$

Un autre intervalle plus précis existe mais compliqué pour le niveau de Terminale S.