Quelques petits exemples

Exemple 1. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=u_n+2n+3$ . Après avoir calculé les premiers termes de la suite, faire une conjecture de l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et démontrer la par récurrence.

Exemple 2. Montrer que :

$\sum_{k=0}^{n}k^3=\left( \sum_{k=0}^{n}k \right)^2$

Exemple 3. Soient les propositions $\mathcal{P}_n$ : " $7^n+1$ est un multiple de 6" et $\mathcal{Q}_n$ : " $7^n-1$ est un multiple de 6", pour tout entier $n\geq 1$ . Montrer que les deux propositions sont héréditaires. Sont-t-elles vraies tout le temps ? Justifier.

Exemple 4. Montrer que :

$\sum_{k=0}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Pour des éléments de correction, voir ici