Si :

et si:

alors :

ROC : soient deux suites vérifiant les conditions suivantes :

Alors, on a :

Démonstration.Dire que la limite de quand tend vers est , revient à dire, d'après la définition, qu'il existe un intervalle : , avec un réel, où tous les termes de la suite sont compris dans cet intervalle, à partir d'un rang . De plus, dire que revient à dire qu'un partir d'un certain rang tous les termes de la suite seront supérieurs à ceux de la suite . Si on pose , alors à partir de ce rang , on a, pour tout :

.

Donc :

.

Dans le même principe :

Si

et si :

alors :

Démonstration analogue à celle du dessus.

Si :

et si :

alors :

Ce théorème s'appelle le théorème des gendarmes. Il faut obligatoirement que les suites et convergent vers la même limite.

Si elles ne convergent pas vers la même limite, alors le théorème des gendarmes ne fonctionnent pas. Exemple : les suites constantes.

Les suites convergent bien, on a également , mais n'a pas la même limite que les autres suites.

Corollaire :

si :

et si :

alors :

Si :

et si :

alors :