La loi normale centrée réduite

Théorème de Moivre-Laplace :

Soit $X_n$ une variable aléatoire discrète suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ et la variable aléatoire discrète centrée réduite associée :

$\overline{X_n}=\frac{X_n-E(X_n)}{\sigma(X_n)}=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$

Alors pour tous les réels $a$ et $b$ :

$\lim_{n\to +\infty}P(a\leq X_n\leq b)=P(a\leq X\leq b)=\int_a^b\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-x^2/2}\mathrm dx$

La variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite, notée $\mathcal{N}(0;1)$ , si elle admet pour densité de probabilité la fonction, appelée fonction de Laplace-Gauss, définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-x^2/2}$

On note aussi cette fonction $\phi$ .

On peut montrer de différentes façons que la fonction de Laplace-Gauss est une fonction de densité mais la plupart des démonstrations sont difficiles et hors programme.

La courbe de la densité est appelée "courbe de Gauss" ou "courbe en cloche".

Paragraphe hors programme.

Soit $X$ une variable aléatoire. On appelle fonction de répartition la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $http://latex.codecogs.com/gif.latex?F%28x%29%3DP%28X%5Cleq%20x%29$ . Si $X\sim \mathcal{N}(0;1)$ , on nomme cette fonction $\Phi$ .

Si $X\sim \mathcal{N}(0;1)$ :

$P(a\leq X\leq b)=\Phi(b)-\Phi(a)$
$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$
$P(-a\leq X\leq a)=2\Phi(a)-1$

$\Phi$ est dérivable et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

ROC : soit $X\sim \mathcal{N}(0;1)$ . Pour tout réel $\alpha \in]0;1[$ , il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$ tel que : $P(-u_{\alpha}\leq X\leq u_{\alpha})=1-\alpha$ .

Démonstration. Posons $y=1-\alpha$ . Comme $\alpha\in]0;1[$ alors $y\in]0;1[$ .
Posons, pour $x\geq 0$ , $G(x)=P(-x\leq X\leq x)=2\Phi(x)-1$ . $G$ est composée de fonctions dérivables, elle est dérivable et on a : $G'(x)=2\Phi'(x)=2\phi (x)>0$ car la densité $\phi$ est positive.

$G$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$
$G$ est continue sur $[0;+\infty[$
On a :

$G(0)=P(0\leq X\leq 0)=P(X=0)=0$

$\lim_{x\to+\infty}G(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm dt=1$

D'après le théorème de la bijection, pour tout réel $y\in]0;1[$ , l'équation $G(x)=y$ admet une unique équation dans $[0;+\infty[$ .

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{N}(0;1)$ . L'espérance de $X$ est définie par :

$E(X)=\lim_{x\to -\infty}\int_x^0tf(t)\mathrm d t+\int_0^ytf(t)\mathrm dt$

Elle vaut $E(X)=0$ .

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{N}(0;1)$ . La variance de $X$ est définie par :

$V(X)=E((X-E(X))^2)$

Elle vaut $V(X)=1$ .

On utilise la calculatrice pour déterminer une valeur approchée d'une probabilité dans le cadre d'une loi normale centrée réduite. Voir ce PDF pour ces explications.